Teorie her je matematický obor, který zkoumá interakce mezi rozhodovacími subjekty, nazývanými hráči, v různých situacích, kde výsledek pro každého hráče závisí na rozhodnutích všech zúčastněných. Jedním z klíčových konceptů teorie her je Nashova rovnováha, pojmenovaná po americkém matematikovi Johnu Nashovi, který tuto teorii formuloval v roce 1950.

Definice Nashovy rovnováhy

Nashova rovnováha je stav, ve kterém žádný hráč nemůže zlepšit svůj výsledek tím, že jednostranně změní svou strategii, pokud ostatní hráči nemění své strategie. Formálně lze Nashovu rovnováhu definovat následovně:

Mějme hru s n hráči, kde každý hráč i má strategický prostor SiS_iSi​ a výplatní funkci ui:S1×S2×…×Sn→Ru_i: S_1 times S_2 times ldots times S_n rightarrow mathbb{R}ui​:S1​×S2​×…×Sn​→R. Profil strategií (s1∗,s2∗,…,sn∗)(s_1^*, s_2^*, ldots, s_n^*)(s1∗​,s2∗​,…,sn∗​) je Nashova rovnováha, pokud pro každého hráče i platí: ui(s1∗,s2∗,…,si∗,…,sn∗)≥ui(s1∗,s2∗,…,si,…,sn∗)u_i(s_1^*, s_2^*, ldots, s_i^*, ldots, s_n^*) geq u_i(s_1^*, s_2^*, ldots, s_i, ldots, s_n^*)ui​(s1∗​,s2∗​,…,si∗​,…,sn∗​)≥ui​(s1∗​,s2∗​,…,si​,…,sn∗​) pro všechna si∈Sis_i in S_isi​∈Si​.

Existence Nashovy rovnováhy

Jedním z významných výsledků Johna Nashe bylo prokázání existence Nashovy rovnováhy v konečných hrách s nekonstantními sumami. Nashova věta o existenci rovnováhy říká, že každá hra s konečným počtem hráčů, kde každý hráč má konečný počet strategií, má alespoň jednu smíšenou Nashovu rovnováhu. Smíšená strategie je pravděpodobnostní rozdělení přes čisté strategie hráče.

Výpočet Nashovy rovnováhy

Výpočet Nashovy rovnováhy může být velmi složitý, zejména ve hrách s velkým počtem hráčů a strategií. Existuje několik metod pro nalezení Nashovy rovnováhy, včetně:

  1. Grafické metody: Použitelné pro dvouhráčské hry s omezeným počtem strategií. Využívají grafy k vizualizaci výplat a hledání rovnováhy.
  2. Algoritmické metody: Jako je Lemkeho-Howsonův algoritmus pro bimatrixové hry.
  3. Numerické metody: Použití výpočetních technik, jako jsou rekurzivní algoritmy a metody optimalizace.

Praktické aplikace Nashovy rovnováhy

Nashova rovnováha má široké uplatnění v různých oblastech, včetně:

  1. Ekonomie: Modelování tržních interakcí, aukcí, oligopolů a dalších ekonomických situací.
  2. Politologie: Analyzování volebních strategií, koalic a vyjednávání.
  3. Biologie: Studium evolučních strategií a ekologických interakcí.
  4. Informatika: Optimalizace síťových protokolů, algoritmy pro multiagentní systémy a umělou inteligenci.

Příklady Nashovy rovnováhy

  1. Vězňovo dilema: Dva podezřelí jsou odděleně vyslýcháni a musí se rozhodnout, zda se přiznají nebo ne. Nashova rovnováha v tomto případě je, že oba přiznají, protože je to nejlepší odpověď na strategii toho druhého.
  2. Cournotův model duopolu: Dva výrobci si nezávisle volí množství produkce. Nashova rovnováha nastává, když oba výrobci nastaví své produkční množství tak, že žádný z nich nemůže zvýšit svůj zisk změnou vlastní produkce, pokud druhý výrobce nemění svou strategii.

Nashova rovnováha je klíčovým konceptem teorie her s širokým spektrem aplikací v mnoha vědních oborech. Přestože její výpočet může být složitý, poskytuje důležité nástroje pro analýzu a pochopení strategických interakcí mezi racionálními hráči. Studium a aplikace Nashovy rovnováhy nadále přináší hluboké vhledy do dynamiky rozhodování v komplexních systémech.